Issolvi {l}{x/4+y/3=3}{x/4-y/3=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 3 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 3 } = 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=46$$

$$y = -\frac{51}{2} = -25\frac{1}{2} = -25.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,3.

$$3x+4y=36$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,3.

$$3x-4y=240$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+4y=36,3x-4y=240$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+4y=36$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-4y+36$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+36\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-4y+36.

$$x=-\frac{4}{3}y+12$$

Issostitwixxi -\frac{4y}{3}+12 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-4y=240.

$$3\left(-\frac{4}{3}y+12\right)-4y=240$$

Immultiplika 3 b'-\frac{4y}{3}+12.

$$-4y+36-4y=240$$

Żid -4y ma' -4y.

$$-8y+36=240$$

Naqqas 36 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8y=204$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$y=-\frac{51}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{51}{2} għal y f'x=-\frac{4}{3}y+12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{51}{2}\right)+12$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'-\frac{51}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=34+12$$

Żid 12 ma' 34.

$$x=46$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=46,y=-\frac{51}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,3.

$$3x+4y=36$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,3.

$$3x-4y=240$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+4y=36,3x-4y=240$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\240\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&4\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\240\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\240\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\240\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-4\times 3}&-\frac{4}{3\left(-4\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{3\left(-4\right)-4\times 3}&\frac{3}{3\left(-4\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\240\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\240\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 36+\frac{1}{6}\times 240\\\frac{1}{8}\times 36-\frac{1}{8}\times 240\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\-\frac{51}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=46,y=-\frac{51}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,3.

$$3x+4y=36$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,3.

$$3x-4y=240$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+4y=36,3x-4y=240$$

Naqqas 3x-4y=240 minn 3x+4y=36 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+4y+4y=36-240$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y+4y=36-240$$

Żid 4y ma' 4y.

$$8y=36-240$$

Żid 36 ma' -240.

$$8y=-204$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$y=-\frac{51}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{51}{2} għal y f'3x-4y=240. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-4\left(-\frac{51}{2}\right)=240$$

Immultiplika -4 b'-\frac{51}{2}.

$$3x+102=240$$

Naqqas 102 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=138$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=46$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=46,y=-\frac{51}{2}$$