Issolvi {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'4, l-inqas denominatur komuni ta' 4,2.

$$x+2y=28$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4.

$$4x-3y=24$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+2y=28$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2y+28$$

Issostitwixxi -2y+28 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-3y=24.

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

Immultiplika 4 b'-2y+28.

$$-8y+112-3y=24$$

Żid -8y ma' -3y.

$$-11y+112=24$$

Naqqas 112 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-11y=-88$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-11.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'x=-2y+28. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times 8+28$$

Immultiplika -2 b'8.

$$x=-16+28$$

Żid 28 ma' -16.

$$x=12$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=12,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'4, l-inqas denominatur komuni ta' 4,2.

$$x+2y=28$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4.

$$4x-3y=24$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=12,y=8$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'4, l-inqas denominatur komuni ta' 4,2.

$$x+2y=28$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4.

$$4x-3y=24$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Biex tagħmel x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

Issimplifika.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

Naqqas 4x-3y=24 minn 4x+8y=112 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y+3y=112-24$$

Żid 8y ma' 3y.

$$11y=112-24$$

Żid 112 ma' -24.

$$11y=88$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$y=8$$

Issostitwixxi 8 għal y f'4x-3y=24. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x-3\times 8=24$$

Immultiplika -3 b'8.

$$4x-24=24$$

Żid 24 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=48$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=12$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=12,y=8$$