Issolvi {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Agħmel il-multiplikazzjonijiet.

$$4x+3y=12-12$$

Naqqas 12 minn 12 biex tikseb 0.

$$4x+3y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20, l-inqas denominatur komuni ta' 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -10 b'y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Ikkombina 4y u -10y biex tikseb -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Ikkombina 5y u -2y biex tikseb 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Ikkombina 5x u 2x biex tikseb 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Żid -15 u 2 biex tikseb -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Ikkombina 8x u -7x biex tikseb x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Ikkombina -6y u -3y biex tikseb -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat.

$$x-9y=-13-20$$

Naqqas 20 minn -13 biex tikseb -33.

$$x-9y=-33$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+3y=0$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-3y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

Żid -\frac{3y}{4} ma' -9y.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{39}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{44}{13}$$

Issostitwixxi \frac{44}{13} għal y f'x=-\frac{3}{4}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'\frac{44}{13} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Agħmel il-multiplikazzjonijiet.

$$4x+3y=12-12$$

Naqqas 12 minn 12 biex tikseb 0.

$$4x+3y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20, l-inqas denominatur komuni ta' 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -10 b'y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Ikkombina 4y u -10y biex tikseb -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Ikkombina 5y u -2y biex tikseb 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Ikkombina 5x u 2x biex tikseb 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Żid -15 u 2 biex tikseb -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Ikkombina 8x u -7x biex tikseb x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Ikkombina -6y u -3y biex tikseb -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat.

$$x-9y=-13-20$$

Naqqas 20 minn -13 biex tikseb -33.

$$x-9y=-33$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Agħmel il-multiplikazzjonijiet.

$$4x+3y=12-12$$

Naqqas 12 minn 12 biex tikseb 0.

$$4x+3y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20, l-inqas denominatur komuni ta' 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -10 b'y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Ikkombina 4y u -10y biex tikseb -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Ikkombina 5y u -2y biex tikseb 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Ikkombina 5x u 2x biex tikseb 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Żid -15 u 2 biex tikseb -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Ikkombina 8x u -7x biex tikseb x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Ikkombina -6y u -3y biex tikseb -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat.

$$x-9y=-13-20$$

Naqqas 20 minn -13 biex tikseb -33.

$$x-9y=-33$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Biex tagħmel 4x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

Issimplifika.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

Naqqas 4x-36y=-132 minn 4x+3y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y+36y=132$$

Żid 3y ma' 36y.

$$39y=132$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'39.

$$y=\frac{44}{13}$$

Issostitwixxi \frac{44}{13} għal y f'x-9y=-33. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

Immultiplika -9 b'\frac{44}{13}.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

Żid \frac{396}{13} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$