Issolvi {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Immultiplika 1 u 2 biex tikseb 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Żid 2 u 1 biex tikseb 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Immultiplika 3 u 3 biex tikseb 9.

$$3x+y=9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'15, l-inqas denominatur komuni ta' 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Immultiplika 3 u 2 biex tikseb 6.

$$6x-5y=-3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+y=9$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Issostitwixxi -\frac{y}{3}+3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

Immultiplika 6 b'-\frac{y}{3}+3.

$$-2y+18-5y=-3$$

Żid -2y ma' -5y.

$$-7y+18=-3$$

Naqqas 18 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7y=-21$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=-\frac{1}{3}y+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

Immultiplika -\frac{1}{3} b'3.

$$x=-1+3$$

Żid 3 ma' -1.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Immultiplika 1 u 2 biex tikseb 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Żid 2 u 1 biex tikseb 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Immultiplika 3 u 3 biex tikseb 9.

$$3x+y=9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'15, l-inqas denominatur komuni ta' 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Immultiplika 3 u 2 biex tikseb 6.

$$6x-5y=-3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Immultiplika 1 u 2 biex tikseb 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Żid 2 u 1 biex tikseb 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Immultiplika 3 u 3 biex tikseb 9.

$$3x+y=9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'15, l-inqas denominatur komuni ta' 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Immultiplika 3 u 2 biex tikseb 6.

$$6x-5y=-3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Biex tagħmel 3x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

Issimplifika.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

Naqqas 18x-15y=-9 minn 18x+6y=54 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y+15y=54+9$$

Żid 6y ma' 15y.

$$21y=54+9$$

Żid 54 ma' 9.

$$21y=63$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'21.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'6x-5y=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x-5\times 3=-3$$

Immultiplika -5 b'3.

$$6x-15=-3$$

Żid 15 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=3$$