Issolvi {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni u l-Formula Kwadratika

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'4, l-inqas denominatur komuni ta' 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas my miż-żewġ naħat.

$$x-my=1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

Solvi x+\left(-m\right)y=1 għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal equals.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

Naqqas \left(-m\right)y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=my+1$$

Issostitwixxi my+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

Ikkwadra my+1.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

Żid 2y^{2} ma' m^{2}y^{2}.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 2+1m^{2} għal a, 1\times 1\times 2m għal b, u -3 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Ikkwadra 1\times 1\times 2m.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Immultiplika -4 b'2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Immultiplika -8-4m^{2} b'-3.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Żid 4m^{2} ma' 24+12m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 24+16m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Immultiplika 2 b'2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} fejn ± hija plus. Żid -2m ma' 2\sqrt{6+4m^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Iddividi -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} b'4+2m^{2}.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} fejn ± hija minus. Naqqas 2\sqrt{6+4m^{2}} minn -2m.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Iddividi -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} b'4+2m^{2}.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Hemm żewġ soluzzjonijiet għal y: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} u -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. Issostitwixxi \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} għal y fl-ekwazzjoni x=my+1 biex issib is-soluzzjoni korrispondenti għal x li tissodisfa ż-żewġ ekwazzjonijiet.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

Immultiplika m b'\frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

Żid m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ma' 1.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

Issa ssostitwixxi -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ma' y fl-ekwazzjoni x=my+1 u solvi biex issib is-soluzzjoni korrispondenti għal x li tissodisfa ż-żewġ ekwazzjonijiet.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

Immultiplika m b'-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

Żid m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) ma' 1.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Solvi għal x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$