Issolvi {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$x+y+2-3y=6$$

Ikkombina y u -3y biex tikseb -2y.

$$x-2y+2=6$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$x-2y=6-2$$

Naqqas 2 minn 6 biex tikseb 4.

$$x-2y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$3x+4y-6x=-8$$

Ikkombina 3x u -6x biex tikseb -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-2y=4$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=2y+4$$

Issostitwixxi 4+2y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -3x+4y=-8.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

Immultiplika -3 b'4+2y.

$$-6y-12+4y=-8$$

Żid -6y ma' 4y.

$$-2y-12=-8$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=2y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

Immultiplika 2 b'-2.

$$x=-4+4$$

Żid 4 ma' -4.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$x+y+2-3y=6$$

Ikkombina y u -3y biex tikseb -2y.

$$x-2y+2=6$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$x-2y=6-2$$

Naqqas 2 minn 6 biex tikseb 4.

$$x-2y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$3x+4y-6x=-8$$

Ikkombina 3x u -6x biex tikseb -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$x+y+2-3y=6$$

Ikkombina y u -3y biex tikseb -2y.

$$x-2y+2=6$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$x-2y=6-2$$

Naqqas 2 minn 6 biex tikseb 4.

$$x-2y=4$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$3x+4y-6x=-8$$

Ikkombina 3x u -6x biex tikseb -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Biex tagħmel x u -3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

Issimplifika.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

Naqqas -3x+4y=-8 minn -3x+6y=-12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

Żid -3x ma' 3x. -3x u 3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y-4y=-12+8$$

Żid 6y ma' -4y.

$$2y=-12+8$$

Żid -12 ma' 8.

$$2y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'-3x+4y=-8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

Immultiplika 4 b'-2.

$$-3x-8=-8$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=-2$$