Issolvi {l}{x+3y/3=y+1/2+3x/4}{3x+5y/5=frac{x+4}{2}-frac{x+y+9}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 3 y } { 3 } = \frac { y + 1 } { 2 } + \frac { 3 x } { 4 } } \\ { \frac { 3 x + 5 y } { 5 } = \frac { x + 4 } { 2 } - \frac { x + y + 9 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2,4.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+3y.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 6 b'y+1.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

Immultiplika 3 u 3 biex tikseb 9.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

Ikkombina 12y u -6y biex tikseb 6y.

$$4x+6y=6+9x$$

Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$4x+6y-9x=6$$

Ikkombina 4x u -9x biex tikseb -5x.

$$-5x+6y=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 5,2,10.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x+5y.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+4.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

Biex issib l-oppost ta' x+y+9, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

Ikkombina 5x u -x biex tikseb 4x.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

Naqqas 9 minn 20 biex tikseb 11.

$$6x+10y=4x+11-y$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$6x+10y-4x=11-y$$

Ikkombina 6x u -4x biex tikseb 2x.

$$2x+10y=11-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$2x+10y+y=11$$

Ikkombina 10y u y biex tikseb 11y.

$$2x+11y=11$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-5x+6y=6$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-6y+6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-6y+6\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-6y+6.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-6+6y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+11y=11.

$$2\left(\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}\right)+11y=11$$

Immultiplika 2 b'\frac{-6+6y}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+11y=11$$

Żid \frac{12y}{5} ma' 11y.

$$\frac{67}{5}y-\frac{12}{5}=11$$

Żid \frac{12}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{67}{5}y=\frac{67}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{67}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

Żid -\frac{6}{5} ma' \frac{6}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2,4.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+3y.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 6 b'y+1.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

Immultiplika 3 u 3 biex tikseb 9.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

Ikkombina 12y u -6y biex tikseb 6y.

$$4x+6y=6+9x$$

Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$4x+6y-9x=6$$

Ikkombina 4x u -9x biex tikseb -5x.

$$-5x+6y=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 5,2,10.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x+5y.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+4.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

Biex issib l-oppost ta' x+y+9, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

Ikkombina 5x u -x biex tikseb 4x.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

Naqqas 9 minn 20 biex tikseb 11.

$$6x+10y=4x+11-y$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$6x+10y-4x=11-y$$

Ikkombina 6x u -4x biex tikseb 2x.

$$2x+10y=11-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$2x+10y+y=11$$

Ikkombina 10y u y biex tikseb 11y.

$$2x+11y=11$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{6}{-5\times 11-6\times 2}\\-\frac{2}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{5}{-5\times 11-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}&\frac{6}{67}\\\frac{2}{67}&\frac{5}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}\times 6+\frac{6}{67}\times 11\\\frac{2}{67}\times 6+\frac{5}{67}\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2,4.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+3y.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 6 b'y+1.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

Immultiplika 3 u 3 biex tikseb 9.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

Ikkombina 12y u -6y biex tikseb 6y.

$$4x+6y=6+9x$$

Naqqas 9x miż-żewġ naħat.

$$4x+6y-9x=6$$

Ikkombina 4x u -9x biex tikseb -5x.

$$-5x+6y=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'10, l-inqas denominatur komuni ta' 5,2,10.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x+5y.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'x+4.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

Biex issib l-oppost ta' x+y+9, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

Ikkombina 5x u -x biex tikseb 4x.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

Naqqas 9 minn 20 biex tikseb 11.

$$6x+10y=4x+11-y$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$6x+10y-4x=11-y$$

Ikkombina 6x u -4x biex tikseb 2x.

$$2x+10y=11-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$2x+10y+y=11$$

Ikkombina 10y u y biex tikseb 11y.

$$2x+11y=11$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

Biex tagħmel -5x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-5.

$$2\left(-5\right)x+2\times 6y=2\times 6,-5\times 2x-5\times 11y=-5\times 11$$

Issimplifika.

$$-10x+12y=12,-10x-55y=-55$$

Naqqas -10x-55y=-55 minn -10x+12y=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10x+10x+12y+55y=12+55$$

Żid -10x ma' 10x. -10x u 10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y+55y=12+55$$

Żid 12y ma' 55y.

$$67y=12+55$$

Żid 12 ma' 55.

$$67y=67$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'67.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'2x+11y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+11=11$$

Naqqas 11 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=1$$