Issolvi {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'40, l-inqas denominatur komuni ta' 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Immultiplika 10 u 5 biex tikseb 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 50 b'x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Immultiplika -4 u 3 biex tikseb -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -12 b'2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Naqqas 12 minn -150 biex tikseb -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Naqqas 7 minn 4 biex tikseb -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'-3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Żid 35x maż-żewġ naħat.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Ikkombina 50x u 35x biex tikseb 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Żid 35y maż-żewġ naħat.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Ikkombina -24y u 35y biex tikseb 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Żid 162 maż-żewġ naħat.

$$85x+11y=-15+162$$

Żid -15 u 162 biex tikseb 147.

$$85x+11y=147$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Naqqas 35 miż-żewġ naħat.

$$6x-10y=21-35$$

Naqqas 35 minn 21 biex tikseb -14.

$$6x-10y=-14$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$85x+11y=147$$

Naqqas 11y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$85x=-11y+147$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'85.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

Immultiplika \frac{1}{85} b'-11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

Issostitwixxi \frac{-11y+147}{85} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

Immultiplika 6 b'\frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

Żid -\frac{66y}{85} ma' -10y.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

Naqqas \frac{882}{85} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{916}{85}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{518}{229}$$

Issostitwixxi \frac{518}{229} għal y f'x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

Immultiplika -\frac{11}{85} b'\frac{518}{229} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

Żid \frac{147}{85} ma' -\frac{5698}{19465} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{329}{229}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'40, l-inqas denominatur komuni ta' 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Immultiplika 10 u 5 biex tikseb 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 50 b'x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Immultiplika -4 u 3 biex tikseb -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -12 b'2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Naqqas 12 minn -150 biex tikseb -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Naqqas 7 minn 4 biex tikseb -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'-3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Żid 35x maż-żewġ naħat.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Ikkombina 50x u 35x biex tikseb 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Żid 35y maż-żewġ naħat.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Ikkombina -24y u 35y biex tikseb 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Żid 162 maż-żewġ naħat.

$$85x+11y=-15+162$$

Żid -15 u 162 biex tikseb 147.

$$85x+11y=147$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Naqqas 35 miż-żewġ naħat.

$$6x-10y=21-35$$

Naqqas 35 minn 21 biex tikseb -14.

$$6x-10y=-14$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'40, l-inqas denominatur komuni ta' 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Immultiplika 10 u 5 biex tikseb 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 50 b'x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Immultiplika -4 u 3 biex tikseb -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -12 b'2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Naqqas 12 minn -150 biex tikseb -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Naqqas 7 minn 4 biex tikseb -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'-3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Żid 35x maż-żewġ naħat.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Ikkombina 50x u 35x biex tikseb 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Żid 35y maż-żewġ naħat.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Ikkombina -24y u 35y biex tikseb 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Żid 162 maż-żewġ naħat.

$$85x+11y=-15+162$$

Żid -15 u 162 biex tikseb 147.

$$85x+11y=147$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Naqqas 35 miż-żewġ naħat.

$$6x-10y=21-35$$

Naqqas 35 minn 21 biex tikseb -14.

$$6x-10y=-14$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Biex tagħmel 85x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'85.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

Issimplifika.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

Naqqas 510x-850y=-1190 minn 510x+66y=882 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

Żid 510x ma' -510x. 510x u -510x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$66y+850y=882+1190$$

Żid 66y ma' 850y.

$$916y=882+1190$$

Żid 882 ma' 1190.

$$916y=2072$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'916.

$$y=\frac{518}{229}$$

Issostitwixxi \frac{518}{229} għal y f'6x-10y=-14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

Immultiplika -10 b'\frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

Żid \frac{5180}{229} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{329}{229}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$