Issolvi {l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Naqqas 2 minn -21 biex tikseb -23.

$$9x-23-4y=0$$

Żid 23 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$9x-4y=23$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'15, l-inqas denominatur komuni ta' 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Naqqas 20 minn 6 biex tikseb -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Żid 14 maż-żewġ naħat.

$$3x-25y=-30+14$$

Żid -30 u 14 biex tikseb -16.

$$3x-25y=-16$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$9x-4y=23$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=4y+23$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

Immultiplika \frac{1}{9} b'4y+23.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

Issostitwixxi \frac{4y+23}{9} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-25y=-16.

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

Immultiplika 3 b'\frac{4y+23}{9}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

Żid \frac{4y}{3} ma' -25y.

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

Naqqas \frac{23}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{71}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{4+23}{9}$$

Żid \frac{23}{9} ma' \frac{4}{9} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Naqqas 2 minn -21 biex tikseb -23.

$$9x-23-4y=0$$

Żid 23 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$9x-4y=23$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'15, l-inqas denominatur komuni ta' 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Naqqas 20 minn 6 biex tikseb -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Żid 14 maż-żewġ naħat.

$$3x-25y=-30+14$$

Żid -30 u 14 biex tikseb -16.

$$3x-25y=-16$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Naqqas 2 minn -21 biex tikseb -23.

$$9x-23-4y=0$$

Żid 23 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$9x-4y=23$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'15, l-inqas denominatur komuni ta' 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -5 b'5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Naqqas 20 minn 6 biex tikseb -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Żid 14 maż-żewġ naħat.

$$3x-25y=-30+14$$

Żid -30 u 14 biex tikseb -16.

$$3x-25y=-16$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Biex tagħmel 9x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'9.

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

Issimplifika.

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

Naqqas 27x-225y=-144 minn 27x-12y=69 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

Żid 27x ma' -27x. 27x u -27x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-12y+225y=69+144$$

Żid -12y ma' 225y.

$$213y=69+144$$

Żid 69 ma' 144.

$$213y=213$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'213.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'3x-25y=-16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-25=-16$$

Żid 25 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=1$$