Issolvi {l}{3x-1/2-4y-7/3=2}{3y-6/4-5-x/6=-1frac{5}{12}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Żid -3 u 14 biex tikseb 11.

$$9x+11-8y=12$$

Naqqas 11 miż-żewġ naħat.

$$9x-8y=12-11$$

Naqqas 11 minn 12 biex tikseb 1.

$$9x-8y=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Naqqas 10 minn -18 biex tikseb -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Immultiplika 1 u 12 biex tikseb 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Żid 12 u 5 biex tikseb 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Żid 28 maż-żewġ naħat.

$$9y+2x=-17+28$$

Żid -17 u 28 biex tikseb 11.

$$9y+2x=11$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$9x-8y=1$$

Żid 8y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=8y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{9} b'8y+1.

$$x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}$$

Issostitwixxi \frac{8y+1}{9} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+9y=11.

$$2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11$$

Immultiplika 2 b'\frac{8y+1}{9}.

$$\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11$$

Żid \frac{16y}{9} ma' 9y.

$$\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11$$

Naqqas \frac{2}{9} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{97}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{8+1}{9}$$

Żid \frac{1}{9} ma' \frac{8}{9} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Żid -3 u 14 biex tikseb 11.

$$9x+11-8y=12$$

Naqqas 11 miż-żewġ naħat.

$$9x-8y=12-11$$

Naqqas 11 minn 12 biex tikseb 1.

$$9x-8y=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Naqqas 10 minn -18 biex tikseb -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Immultiplika 1 u 12 biex tikseb 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Żid 12 u 5 biex tikseb 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Żid 28 maż-żewġ naħat.

$$9y+2x=-17+28$$

Żid -17 u 28 biex tikseb 11.

$$9y+2x=11$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Żid -3 u 14 biex tikseb 11.

$$9x+11-8y=12$$

Naqqas 11 miż-żewġ naħat.

$$9x-8y=12-11$$

Naqqas 11 minn 12 biex tikseb 1.

$$9x-8y=1$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'12, l-inqas denominatur komuni ta' 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Naqqas 10 minn -18 biex tikseb -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Immultiplika 1 u 12 biex tikseb 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Żid 12 u 5 biex tikseb 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Żid 28 maż-żewġ naħat.

$$9y+2x=-17+28$$

Żid -17 u 28 biex tikseb 11.

$$9y+2x=11$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Biex tagħmel 9x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'9.

$$2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11$$

Issimplifika.

$$18x-16y=2,18x+81y=99$$

Naqqas 18x+81y=99 minn 18x-16y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x-16y-81y=2-99$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-16y-81y=2-99$$

Żid -16y ma' -81y.

$$-97y=2-99$$

Żid 2 ma' -99.

$$-97y=-97$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-97.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'2x+9y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+9=11$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=1$$