Issolvi {l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-5$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Immultiplika -5 u 6 biex tikseb -30.

$$3x+5y=-30$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Naqqas 14 miż-żewġ naħat.

$$2x+3y=-5-14$$

Naqqas 14 minn -5 biex tikseb -19.

$$2x+3y=-19$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+5y=-30$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-5y-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-5y-30.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{3}-10 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+3y=-19.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

Immultiplika 2 b'-\frac{5y}{3}-10.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

Żid -\frac{10y}{3} ma' 3y.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

Żid 20 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=-\frac{5}{3}y-10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

Immultiplika -\frac{5}{3} b'-3.

$$x=5-10$$

Żid -10 ma' 5.

$$x=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-5,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Immultiplika -5 u 6 biex tikseb -30.

$$3x+5y=-30$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Naqqas 14 miż-żewġ naħat.

$$2x+3y=-5-14$$

Naqqas 14 minn -5 biex tikseb -19.

$$2x+3y=-19$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-5,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat b'6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Immultiplika -5 u 6 biex tikseb -30.

$$3x+5y=-30$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Naqqas 14 miż-żewġ naħat.

$$2x+3y=-5-14$$

Naqqas 14 minn -5 biex tikseb -19.

$$2x+3y=-19$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

Issimplifika.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

Naqqas 6x+9y=-57 minn 6x+10y=-60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y-9y=-60+57$$

Żid 10y ma' -9y.

$$y=-60+57$$

Żid -60 ma' 57.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'2x+3y=-19. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

Immultiplika 3 b'-3.

$$2x-9=-19$$

Żid 9 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-5,y=-3$$