Issolvi {l}{3/2x+1/3y=1}{x/4-1/6y=-frac{3}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = 1 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { 1 } { 6 } y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1$$

Naqqas \frac{y}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{1}{3}y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}y+1\right)$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'-\frac{y}{3}+1.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-\frac{2y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{1}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Żid -\frac{y}{18} ma' -\frac{y}{6}.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}$$

Naqqas \frac{1}{6} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{2}{9}y=-\frac{5}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{2}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{15}{2}$$

Issostitwixxi \frac{15}{2} għal y f'x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{15}{2}+\frac{2}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{9} b'\frac{15}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Żid \frac{2}{3} ma' -\frac{5}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{4}-\frac{9}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Biex tagħmel \frac{3x}{2} u \frac{x}{4} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{1}{4} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

Issimplifika.

$$\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4}$$

Naqqas \frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4} minn \frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4} billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

Żid \frac{3x}{8} ma' -\frac{3x}{8}. \frac{3x}{8} u -\frac{3x}{8} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

Żid \frac{y}{12} ma' \frac{y}{4}.

$$\frac{1}{3}y=\frac{1+9}{4}$$

Żid \frac{1}{4} ma' \frac{9}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$\frac{1}{3}y=\frac{5}{2}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$y=\frac{15}{2}$$

Issostitwixxi \frac{15}{2} għal y f'\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}\times \frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{6} b'\frac{15}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}$$

Żid \frac{5}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$