Issolvi {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Naqqas 4 minn -5 biex tikseb -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Żid 9 maż-żewġ naħat.

$$2x+3y=-1+9$$

Żid -1 u 9 biex tikseb 8.

$$2x+3y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+3y=8$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-3y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

Immultiplika -1 b'-\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

Żid \frac{3y}{2} ma' y.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{2}y=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{18}{5}$$

Issostitwixxi \frac{18}{5} għal y f'x=-\frac{3}{2}y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'\frac{18}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

Żid 4 ma' -\frac{27}{5}.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Naqqas 4 minn -5 biex tikseb -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Żid 9 maż-żewġ naħat.

$$2x+3y=-1+9$$

Żid -1 u 9 biex tikseb 8.

$$2x+3y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Naqqas 4 minn -5 biex tikseb -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Żid 9 maż-żewġ naħat.

$$2x+3y=-1+9$$

Żid -1 u 9 biex tikseb 8.

$$2x+3y=8$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Biex tagħmel 2x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

Issimplifika.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

Naqqas -2x+2y=10 minn -2x-3y=-8 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y-2y=-8-10$$

Żid -3y ma' -2y.

$$-5y=-8-10$$

Żid -8 ma' -10.

$$-5y=-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=\frac{18}{5}$$

Issostitwixxi \frac{18}{5} għal y f'-x+y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

Naqqas \frac{18}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=\frac{7}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$