Issolvi {l}{2x-4/3-y+3/9=0}{3x/8+y/2=-frac{3}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 4 } { 3 } - \frac { y + 3 } { 9 } = 0 } \\ { \frac { 3 x } { 8 } + \frac { y } { 2 } = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \approx 1.777777778$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'9, l-inqas denominatur komuni ta' 3,9.

$$3\left(2x-4\right)-\left(y+3\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'2x-4.

$$6x-12-\left(y+3\right)=0$$

Biex issib l-oppost ta' y+3, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$6x-12-y-3=0$$

Naqqas 3 minn -12 biex tikseb -15.

$$6x-15-y=0$$

Żid 15 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$6x-y=15$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'8, l-inqas denominatur komuni ta' 8,2.

$$3x+4y=-12$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x-y=15,3x+4y=-12$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x-y=15$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=y+15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(y+15\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'y+15.

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{y}{6}+\frac{5}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+4y=-12.

$$3\left(\frac{1}{6}y+\frac{5}{2}\right)+4y=-12$$

Immultiplika 3 b'\frac{y}{6}+\frac{5}{2}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}+4y=-12$$

Żid \frac{y}{2} ma' 4y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}=-12$$

Naqqas \frac{15}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{39}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{9}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{13}{3} għal y f'x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{6}\left(-\frac{13}{3}\right)+\frac{5}{2}$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-\frac{13}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{13}{18}+\frac{5}{2}$$

Żid \frac{5}{2} ma' -\frac{13}{18} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{16}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{16}{9},y=-\frac{13}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'9, l-inqas denominatur komuni ta' 3,9.

$$3\left(2x-4\right)-\left(y+3\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'2x-4.

$$6x-12-\left(y+3\right)=0$$

Biex issib l-oppost ta' y+3, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$6x-12-y-3=0$$

Naqqas 3 minn -12 biex tikseb -15.

$$6x-15-y=0$$

Żid 15 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$6x-y=15$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'8, l-inqas denominatur komuni ta' 8,2.

$$3x+4y=-12$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x-y=15,3x+4y=-12$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{6\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{6\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{6\times 4-\left(-3\right)}&\frac{6}{6\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-12\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 15+\frac{1}{27}\left(-12\right)\\-\frac{1}{9}\times 15+\frac{2}{9}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{9}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{16}{9},y=-\frac{13}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'9, l-inqas denominatur komuni ta' 3,9.

$$3\left(2x-4\right)-\left(y+3\right)=0$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'2x-4.

$$6x-12-\left(y+3\right)=0$$

Biex issib l-oppost ta' y+3, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$6x-12-y-3=0$$

Naqqas 3 minn -12 biex tikseb -15.

$$6x-15-y=0$$

Żid 15 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$6x-y=15$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'8, l-inqas denominatur komuni ta' 8,2.

$$3x+4y=-12$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x-y=15,3x+4y=-12$$

Biex tagħmel 6x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$3\times 6x+3\left(-1\right)y=3\times 15,6\times 3x+6\times 4y=6\left(-12\right)$$

Issimplifika.

$$18x-3y=45,18x+24y=-72$$

Naqqas 18x+24y=-72 minn 18x-3y=45 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x-3y-24y=45+72$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y-24y=45+72$$

Żid -3y ma' -24y.

$$-27y=45+72$$

Żid 45 ma' 72.

$$-27y=117$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-27.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{13}{3} għal y f'3x+4y=-12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+4\left(-\frac{13}{3}\right)=-12$$

Immultiplika 4 b'-\frac{13}{3}.

$$3x-\frac{52}{3}=-12$$

Żid \frac{52}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{16}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{16}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{16}{9},y=-\frac{13}{3}$$