Issolvi {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$2x+7y+3y=0$$

Ikkombina 7y u 3y biex tikseb 10y.

$$2x+10y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Ikkombina 2x u 2x biex tikseb 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$4x+5y=4+1$$

Żid 4 u 1 biex tikseb 5.

$$4x+5y=5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x+10y=0$$

Naqqas 10y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-10y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-10y.

$$x=-5y$$

Issostitwixxi -5y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

Immultiplika 4 b'-5y.

$$-20y+5y=5$$

Żid -20y ma' 5y.

$$-15y=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-15.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{3} għal y f'x=-5y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Immultiplika -5 b'-\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$2x+7y+3y=0$$

Ikkombina 7y u 3y biex tikseb 10y.

$$2x+10y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Ikkombina 2x u 2x biex tikseb 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$4x+5y=4+1$$

Żid 4 u 1 biex tikseb 5.

$$4x+5y=5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$2x+7y+3y=0$$

Ikkombina 7y u 3y biex tikseb 10y.

$$2x+10y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Ikkombina 2x u 2x biex tikseb 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$4x+5y=4+1$$

Żid 4 u 1 biex tikseb 5.

$$4x+5y=5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Biex tagħmel 2x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

Issimplifika.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

Naqqas 8x+10y=10 minn 8x+40y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$40y-10y=-10$$

Żid 40y ma' -10y.

$$30y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'30.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{3} għal y f'4x+5y=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

Immultiplika 5 b'-\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

Żid \frac{5}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=\frac{20}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$