Issolvi {c}{y=2-2x}{5y+2x=14}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 - 2 x } \\ { 5 y + 2 x = 14 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$y+2x=2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+2x=2$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-2x+2$$

Issostitwixxi -2x+2 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 5y+2x=14.

$$5\left(-2x+2\right)+2x=14$$

Immultiplika 5 b'-2x+2.

$$-10x+10+2x=14$$

Żid -10x ma' 2x.

$$-8x+10=14$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{1}{2} għal x f'y=-2x+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-2\left(-\frac{1}{2}\right)+2$$

Immultiplika -2 b'-\frac{1}{2}.

$$y=1+2$$

Żid 2 ma' 1.

$$y=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$y+2x=2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 5}&-\frac{2}{2-2\times 5}\\-\frac{5}{2-2\times 5}&\frac{1}{2-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{1}{8}\times 14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 2x maż-żewġ naħat.

$$y+2x=2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Naqqas 5y+2x=14 minn y+2x=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-5y+2x-2x=2-14$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-5y=2-14$$

Żid y ma' -5y.

$$-4y=2-14$$

Żid 2 ma' -14.

$$-4y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'5y+2x=14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5\times 3+2x=14$$

Immultiplika 5 b'3.

$$15+2x=14$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$