Issolvi {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2y+5x=12$$

Naqqas 5x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=-5x+12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-5x+12.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

Issostitwixxi -\frac{5x}{2}+6 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

Immultiplika -6 b'-\frac{5x}{2}+6.

$$15x-36-2x=-24$$

Żid 15x ma' -2x.

$$13x-36=-24$$

Żid 36 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$13x=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'13.

$$x=\frac{12}{13}$$

Issostitwixxi \frac{12}{13} għal x f'y=-\frac{5}{2}x+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

Immultiplika -\frac{5}{2} b'\frac{12}{13} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

Żid 6 ma' -\frac{30}{13}.

$$y=\frac{48}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Biex tagħmel 2y u -6y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

Issimplifika.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

Naqqas -12y-4x=-48 minn -12y-30x=-72 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

Żid -12y ma' 12y. -12y u 12y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-30x+4x=-72+48$$

Żid -30x ma' 4x.

$$-26x=-72+48$$

Żid -72 ma' 48.

$$-26x=-24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-26.

$$x=\frac{12}{13}$$

Issostitwixxi \frac{12}{13} għal x f'-6y-2x=-24. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

Immultiplika -2 b'\frac{12}{13}.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

Żid \frac{24}{13} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$y=\frac{48}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$