Issolvi {c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=-9$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Ikkombina 6x u -2x biex tikseb 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Żid 10y maż-żewġ naħat.

$$4x-2y+10y=-64$$

Ikkombina -2y u 10y biex tikseb 8y.

$$4x+8y=-64$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-2.

$$9x-6-2y=30$$

Żid 6 maż-żewġ naħat.

$$9x-2y=30+6$$

Żid 30 u 6 biex tikseb 36.

$$9x-2y=36$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+8y=-64$$

Naqqas 8y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-8y-64$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-8y-64.

$$x=-2y-16$$

Issostitwixxi -2y-16 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 9x-2y=36.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=36$$

Immultiplika 9 b'-2y-16.

$$-18y-144-2y=36$$

Żid -18y ma' -2y.

$$-20y-144=36$$

Żid 144 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-20y=180$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-20.

$$y=-9$$

Issostitwixxi -9 għal y f'x=-2y-16. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\left(-9\right)-16$$

Immultiplika -2 b'-9.

$$x=18-16$$

Żid -16 ma' 18.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-9$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Ikkombina 6x u -2x biex tikseb 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Żid 10y maż-żewġ naħat.

$$4x-2y+10y=-64$$

Ikkombina -2y u 10y biex tikseb 8y.

$$4x+8y=-64$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-2.

$$9x-6-2y=30$$

Żid 6 maż-żewġ naħat.

$$9x-2y=30+6$$

Żid 30 u 6 biex tikseb 36.

$$9x-2y=36$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=-9$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Ikkombina 6x u -2x biex tikseb 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Żid 10y maż-żewġ naħat.

$$4x-2y+10y=-64$$

Ikkombina -2y u 10y biex tikseb 8y.

$$4x+8y=-64$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'3x-2.

$$9x-6-2y=30$$

Żid 6 maż-żewġ naħat.

$$9x-2y=30+6$$

Żid 30 u 6 biex tikseb 36.

$$9x-2y=36$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Biex tagħmel 4x u 9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36$$

Issimplifika.

$$36x+72y=-576,36x-8y=144$$

Naqqas 36x-8y=144 minn 36x+72y=-576 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$36x-36x+72y+8y=-576-144$$

Żid 36x ma' -36x. 36x u -36x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$72y+8y=-576-144$$

Żid 72y ma' 8y.

$$80y=-576-144$$

Żid -576 ma' -144.

$$80y=-720$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'80.

$$y=-9$$

Issostitwixxi -9 għal y f'9x-2y=36. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$9x-2\left(-9\right)=36$$

Immultiplika -2 b'-9.

$$9x+18=36$$

Naqqas 18 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-9$$