Issolvi {c}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x+5y=1$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-5y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

Immultiplika -1 b'-5y+1.

$$x=5y-1$$

Issostitwixxi 5y-1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x-5y=11.

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

Immultiplika -2 b'5y-1.

$$-10y+2-5y=11$$

Żid -10y ma' -5y.

$$-15y+2=11$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-15y=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{5} għal y f'x=5y-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Immultiplika 5 b'-\frac{3}{5}.

$$x=-3-1$$

Żid -1 ma' -3.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Biex tagħmel -x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

Issimplifika.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

Naqqas 2x+5y=-11 minn 2x-10y=-2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-10y-5y=-2+11$$

Żid -10y ma' -5y.

$$-15y=-2+11$$

Żid -2 ma' 11.

$$-15y=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{3}{5} għal y f'-2x-5y=11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

Immultiplika -5 b'-\frac{3}{5}.

$$-2x+3=11$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$