Issolvi ∫ _{R_{1}}^R_{2}(x^2+y^2)

$$\int _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } )$$

Evalwa

$$\frac{\left(R_{2}-R_{1}\right)\left(3y^{2}+R_{1}R_{2}+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right)}{3}$$

Passi tas-Soluzzjonijiet

L-ewwel evalwa l-integru indefinit.

$$\int x^{2}+y^{2}\mathrm{d}x$$

Tintegra s-somma terminu b'terminu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int y^{2}\mathrm{d}x$$

Minn \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} għal k\neq -1, issostitwixxi \int x^{2}\mathrm{d}x ma' \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\int y^{2}\mathrm{d}x$$

Sib l-integru ta' y^{2} billi tuża t-tabella tar-regola tal-integrali komuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}+y^{2}x$$

L-integru definit huwa l-antiderivattiv tal-espressjoni evalwata fil-limitu superjuri tal-integrazzjoni minus l-antiderivattiv evalwat fil-limitu inferjuri tal-integrazzjoni.

$$\frac{R_{2}^{3}}{3}+y^{2}R_{2}-\left(\frac{R_{1}^{3}}{3}+y^{2}R_{1}\right)$$

Issimplifika.

$$\frac{\left(-R_{1}+R_{2}\right)\left(3y^{2}+R_{1}^{2}+R_{1}R_{2}+R_{2}^{2}\right)}{3}$$

Iddifferenzja w.r.t. y

$$2y\left(R_{2}-R_{1}\right)$$