Issolvi ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

Evalwa

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

Passi tas-Soluzzjonijiet

L-ewwel evalwa l-integru indefinit.

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

Tintegra s-somma terminu b'terminu.

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

Iffattura ‘l barra l-kostanti f’kull wieħed minn dawn it-termini.

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Minn \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} għal k\neq -1, issostitwixxi \int r\mathrm{d}r ma' \frac{r^{2}}{2}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Minn \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} għal k\neq -1, issostitwixxi \int r^{2}\mathrm{d}r ma' \frac{r^{3}}{3}. Immultiplika -1 b'\frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

L-integru definit huwa l-antiderivattiv tal-espressjoni evalwata fil-limitu superjuri tal-integrazzjoni minus l-antiderivattiv evalwat fil-limitu inferjuri tal-integrazzjoni.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Issimplifika.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

Iddifferenzja w.r.t. x

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$