Issolvi x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Solvi għal x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20, l-inqas denominatur komuni ta' 5,4.

$$4x=5y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Issostitwixxi \frac{5y}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Żid -\frac{5y}{4} ma' y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=12$$

Issostitwixxi 12 għal y f'x=\frac{5}{4}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Immultiplika \frac{5}{4} b'12.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=12$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20, l-inqas denominatur komuni ta' 5,4.

$$4x=5y$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat.

$$4x-5y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$y=x-3$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=-3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=15,y=12$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'20, l-inqas denominatur komuni ta' 5,4.

$$4x=5y$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat.

$$4x-5y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$y=x-3$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$y-x=-3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Biex tagħmel 4x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Issimplifika.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Naqqas -4x+4y=-12 minn -4x+5y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5y-4y=12$$

Żid 5y ma' -4y.

$$y=12$$

Issostitwixxi 12 għal y f'-x+y=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+12=-3$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=12$$