Issolvi f/11=g/33,text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } , \text { siendo } f + g = 40$$

Solvi għal f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'33, l-inqas denominatur komuni ta' 11,33.

$$3f=g$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Issostitwixxi \frac{g}{3} għal f fl-ekwazzjoni l-oħra, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Żid \frac{g}{3} ma' g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{4}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$g=30$$

Issostitwixxi 30 għal g f'f=\frac{1}{3}g. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal f direttament.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'30.

$$f=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$f=10,g=30$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'33, l-inqas denominatur komuni ta' 11,33.

$$3f=g$$

Naqqas g miż-żewġ naħat.

$$3f-g=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi f u g.

$$f=10,g=30$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'33, l-inqas denominatur komuni ta' 11,33.

$$3f=g$$

Naqqas g miż-żewġ naħat.

$$3f-g=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Biex tagħmel 3f u f ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Issimplifika.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Naqqas 3f+3g=120 minn 3f-g=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Żid 3f ma' -3f. 3f u -3f jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-g-3g=-120$$

Żid -g ma' -3g.

$$-4g=-120$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$g=30$$

Issostitwixxi 30 għal g f'f+g=40. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal f direttament.

$$f+30=40$$

Naqqas 30 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$f=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$f=10,g=30$$