Issolvi 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Solvi għal x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$3x+2y=22$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x+y=14$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=22$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y+22}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Immultiplika 2 b'\frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Żid -\frac{4y}{3} ma' y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Naqqas \frac{44}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Żid \frac{22}{3} ma' -\frac{4}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=6,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$3x+2y=22$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x+y=14$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=6,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$3x+2y=22$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x+y=14$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Issimplifika.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Naqqas 6x+3y=42 minn 6x+4y=44 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-3y=44-42$$

Żid 4y ma' -3y.

$$y=44-42$$

Żid 44 ma' -42.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'2x+y=14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+2=14$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=6,y=2$$