x^2-2x-5<0 सोडवा

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

x साठी सोडवा

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

असमानता सोडवण्यासाठी, डाव्या बाजूला फॅक्टर करा. वर्गसमीकरण बहूपदी ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) परिवर्तन वापरून फॅक्टर करू शकतात, ज्यात x_{1} आणि x_{2} वर्गसमीकरण समीकरणाचे निरसन आहेत ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 ची समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडवली जाऊ शकतात. वर्गसमीकरण सुत्रामध्ये a साठी 1, b साठी -2 आणि c साठी -5 विकल्प आहे.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

गणना करा.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

जेव्हा ± धन असते तेव्हा आणि ± ऋण असते तेव्हा x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} समीकरण सोडवा.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

प्राप्त केलेल्या निरसनांचा वापर करून असमानता पुन्हा लिहा.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

उत्पादन ऋण होण्यासाठी, x-\left(\sqrt{6}+1\right) आणि x-\left(1-\sqrt{6}\right) विरूद्ध चिन्हे असणे आवश्यक आहे. केसचा विचार करा जेव्हा x-\left(\sqrt{6}+1\right) धन असते आणि x-\left(1-\sqrt{6}\right) ऋण असते.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

कोणत्याही x साठी हे असत्य आहे.

$$x\in \emptyset$$

केसचा विचार करा जेव्हा x-\left(1-\sqrt{6}\right) धन असते आणि x-\left(\sqrt{6}+1\right) ऋण असते.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

दोन्ही असमानतेचे समाधानकारक निरसन x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right) आहे.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

अंतिम निराकरण प्राप्त निराकरणांची युनियन आहे.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$