{8x+2y=46}{7x+3y=47} सोडवा

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x+2y=46$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$8x=-2y+46$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

-2y+46 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+23}{4} चा विकल्प वापरा, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

\frac{-y+23}{4} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

-\frac{7y}{4} ते 3y जोडा.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{161}{4} वजा करा.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{27}{5}$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} मध्ये y साठी \frac{27}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{27}{5} चा -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{23}{4} ते -\frac{27}{20} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{22}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

8x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

सरलीकृत करा.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 56x+14y=322 मधून 56x+24y=376 वजा करा.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

56x ते -56x जोडा. 56x आणि -56x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$14y-24y=322-376$$

14y ते -24y जोडा.

$$-10y=322-376$$

322 ते -376 जोडा.

$$-10y=-54$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=\frac{27}{5}$$

7x+3y=47 मध्ये y साठी \frac{27}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

\frac{27}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{81}{5} वजा करा.

$$7x=\frac{154}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{22}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$