x^2-2x-1leq0 सोडवा

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

x साठी सोडवा

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

असमानता सोडवण्यासाठी, डाव्या बाजूला फॅक्टर करा. वर्गसमीकरण बहूपदी ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) परिवर्तन वापरून फॅक्टर करू शकतात, ज्यात x_{1} आणि x_{2} वर्गसमीकरण समीकरणाचे निरसन आहेत ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-1=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 ची समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडवली जाऊ शकतात. वर्गसमीकरण सुत्रामध्ये a साठी 1, b साठी -2 आणि c साठी -1 विकल्प आहे.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

गणना करा.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

जेव्हा ± धन असते तेव्हा आणि ± ऋण असते तेव्हा x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} समीकरण सोडवा.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

प्राप्त केलेल्या निरसनांचा वापर करून असमानता पुन्हा लिहा.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

उत्पादन ≤0 होण्यासाठी, x-\left(\sqrt{2}+1\right) आणि x-\left(1-\sqrt{2}\right) पैकी एकाचे मूल्य ≥0 आणि दपसऱ्याचे ≤0 असणे आवश्यक आहे. x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 आणि x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0 असतात तेव्हा केसचा विचार करा.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

कोणत्याही x साठी हे असत्य आहे.

$$x\in \emptyset$$

x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 आणि x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 असतात तेव्हा केसचा विचार करा.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

दोन्ही असमानतेचे समाधानकारक निरसन x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right] आहे.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

अंतिम निराकरण प्राप्त निराकरणांची युनियन आहे.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$