x:y=7:3text{con}x-y=13 सोडवा

$$x : y = 7 : 3 \text { con } x - y = 13$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{91}{4} = 22\frac{3}{4} = 22.75$$

$$y = \frac{39}{4} = 9\frac{3}{4} = 9.75$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3y ने गुणाकार करा, y,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x=7y$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\times 7y$$

7y ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{3}y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7y}{3} चा विकल्प वापरा, x-y=13.

$$\frac{7}{3}y-y=13$$

\frac{7y}{3} ते -y जोडा.

$$\frac{4}{3}y=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{4}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{39}{4}$$

x=\frac{7}{3}y मध्ये y साठी \frac{39}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{7}{3}\times \frac{39}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{39}{4} चा \frac{7}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{91}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{91}{4},y=\frac{39}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3y ने गुणाकार करा, y,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x=7y$$

दोन्ही बाजूंकडून 7y वजा करा.

$$3x-7y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-7y=0,x-y=13$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{3\left(-1\right)-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\times 13\\\frac{3}{4}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{4}\\\frac{39}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{91}{4},y=\frac{39}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3y ने गुणाकार करा, y,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x=7y$$

दोन्ही बाजूंकडून 7y वजा करा.

$$3x-7y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-7y=0,x-y=13$$

3x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-7y=0,3x+3\left(-1\right)y=3\times 13$$

सरलीकृत करा.

$$3x-7y=0,3x-3y=39$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-7y=0 मधून 3x-3y=39 वजा करा.

$$3x-3x-7y+3y=-39$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-7y+3y=-39$$

-7y ते 3y जोडा.

$$-4y=-39$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=\frac{39}{4}$$

x-y=13 मध्ये y साठी \frac{39}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-\frac{39}{4}=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{39}{4} जोडा.

$$x=\frac{91}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{91}{4},y=\frac{39}{4}$$