n^2-n-210=0 सोडवा

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

n साठी सोडवा

$$n=-14$$

$$n=15$$

वर्गमूळ काढण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) सूत्र वापरून n^{2}-n-210 घटक. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-1 ab=-210$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -210 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

बेरी -1 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-15 b=14$$

मिळविलेले मूल्‍य वापरून \left(n+a\right)\left(n+b\right) घटक पदावली पुन्हा लिहा.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, n-15=0 आणि n+14=0 सोडवा.

$$n=15 n=-14$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू n^{2}+an+bn-210 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -210 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

बेरी -1 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-15 b=14$$

\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right) प्रमाणे n^{2}-n-210 पुन्हा लिहा.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

पहिल्‍या आणि 14 मध्‍ये अन्‍य समूहात n घटक काढा.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून n-15 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, n-15=0 आणि n+14=0 सोडवा.

$$n=15 n=-14$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$n^{2}-n-210=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 1, b साठी -1 आणि c साठी -210 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

-210 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

1 ते 840 जोडा.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

841 चा वर्गमूळ घ्या.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1 ची विरूद्ध संख्या 1 आहे.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

आता ± धन असताना समीकरण n=\frac{1±29}{2} सोडवा. 1 ते 29 जोडा.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 ला 2 ने भागा.

$$n=15$$

आता ± ऋण असताना समीकरण n=\frac{1±29}{2} सोडवा. 1 मधून 29 वजा करा.

$$n=-\frac{28}{2}$$

-28 ला 2 ने भागा.

$$n=-14$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$n=15 n=-14$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$n^{2}-n-210=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 210 जोडा.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

-210 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

0 मधून -210 वजा करा.

$$n^{2}-n=210$$

-1 चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{1}{2} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{1}{2} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{1}{2} वर्ग घ्या.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

210 ते \frac{1}{4} जोडा.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

घटक n^{2}-n+\frac{1}{4}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

सरलीकृत करा.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1}{2} जोडा.

$$n=15 n=-14$$