n^2-11n-60=0 सोडवा

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n साठी सोडवा

$$n=-4$$

$$n=15$$

वर्गमूळ काढण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) सूत्र वापरून n^{2}-11n-60 घटक. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -60 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

बेरी -11 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-15 b=4$$

मिळविलेले मूल्‍य वापरून \left(n+a\right)\left(n+b\right) घटक पदावली पुन्हा लिहा.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, n-15=0 आणि n+4=0 सोडवा.

$$n=15 n=-4$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू n^{2}+an+bn-60 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -60 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

बेरी -11 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-15 b=4$$

\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) प्रमाणे n^{2}-11n-60 पुन्हा लिहा.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

पहिल्‍या आणि 4 मध्‍ये अन्‍य समूहात n घटक काढा.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून n-15 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, n-15=0 आणि n+4=0 सोडवा.

$$n=15 n=-4$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$n^{2}-11n-60=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 1, b साठी -11 आणि c साठी -60 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

वर्ग -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-60 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

121 ते 240 जोडा.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 चा वर्गमूळ घ्या.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 ची विरूद्ध संख्या 11 आहे.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

आता ± धन असताना समीकरण n=\frac{11±19}{2} सोडवा. 11 ते 19 जोडा.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 ला 2 ने भागा.

$$n=15$$

आता ± ऋण असताना समीकरण n=\frac{11±19}{2} सोडवा. 11 मधून 19 वजा करा.

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 ला 2 ने भागा.

$$n=-4$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$n=15 n=-4$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$n^{2}-11n-60=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 60 जोडा.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

0 मधून -60 वजा करा.

$$n^{2}-11n=60$$

-11 चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{11}{2} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{11}{2} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{11}{2} वर्ग घ्या.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

60 ते \frac{121}{4} जोडा.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

घटक n^{2}-11n+\frac{121}{4}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

सरलीकृत करा.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{11}{2} जोडा.

$$n=15 n=-4$$