f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cinR,quadf^prime(x)forallf(x) सोडवा

$$f ( x ) = ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) , a , b , c \in R , \quad f ^ { \prime } ( x ) \forall f ( x )$$

a साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{x\left(x^{2}-bx-cx+bc-f\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq b\\a\in \mathrm{C}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }b=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=b\text{ and }b\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

रेखीय समीकरण सोडविण्यासाठी चरणे

x-a ला x-b ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x^{2}-xb-ax+ab ला x-c ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

दोन्ही बाजूंकडून x^{3} वजा करा.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

दोन्ही बाजूंना x^{2}c जोडा.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

दोन्ही बाजूंना bx^{2} जोडा.

$$bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}$$

दोन्ही बाजूंकडून bxc वजा करा.

$$-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}-bxc$$

टर्म्सची पुन्हा क्रमवारी लावा.

$$-ax^{2}+abx+acx-abc=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

a समाविष्ट असलेले सर्व टर्म्स एकत्र करा.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

समीकरण मानक रूपामध्ये आहे.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=fx-bcx+cx^{2}+bx^{2}-x^{3}$$

दोन्ही बाजूंना bx-bc-x^{2}+xc ने विभागा.

$$\frac{\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a}{-x^{2}+bx+cx-bc}=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

bx-bc-x^{2}+xc ने केलेला भागाकार bx-bc-x^{2}+xc ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

x\left(-x^{2}+bx+cx-bc+f\right) ला bx-bc-x^{2}+xc ने भागा.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}$$

b साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{x\left(x^{2}-ax-cx+ac-f\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq a\\b\in \mathrm{C}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }a=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=a\text{ and }a\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

रेखीय समीकरण सोडविण्यासाठी चरणे

x-a ला x-b ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x^{2}-xb-ax+ab ला x-c ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

दोन्ही बाजूंकडून x^{3} वजा करा.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

दोन्ही बाजूंना x^{2}c जोडा.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

दोन्ही बाजूंना ax^{2} जोडा.

$$-bx^{2}+bxc+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}$$

दोन्ही बाजूंकडून axc वजा करा.

$$-bx^{2}+bxc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}-axc$$

टर्म्सची पुन्हा क्रमवारी लावा.

$$-bx^{2}+abx+bcx-abc=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

b समाविष्ट असलेले सर्व टर्म्स एकत्र करा.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

समीकरण मानक रूपामध्ये आहे.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=fx-acx+cx^{2}+ax^{2}-x^{3}$$

दोन्ही बाजूंना ax-ac-x^{2}+xc ने विभागा.

$$\frac{\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b}{-x^{2}+ax+cx-ac}=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

ax-ac-x^{2}+xc ने केलेला भागाकार ax-ac-x^{2}+xc ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

x\left(-x^{2}+ax+cx-ac+f\right) ला ax-ac-x^{2}+xc ने भागा.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}$$

a साठी सोडवा

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{x\left(x^{2}-bx-cx+bc-f\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq b\\a\in \mathrm{R}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }b=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=b\text{ and }b\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

रेखीय समीकरण सोडविण्यासाठी चरणे

x-a ला x-b ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x^{2}-xb-ax+ab ला x-c ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

दोन्ही बाजूंकडून x^{3} वजा करा.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

दोन्ही बाजूंना x^{2}c जोडा.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

दोन्ही बाजूंना bx^{2} जोडा.

$$bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}$$

दोन्ही बाजूंकडून bxc वजा करा.

$$-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}-bxc$$

टर्म्सची पुन्हा क्रमवारी लावा.

$$-ax^{2}+abx+acx-abc=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

a समाविष्ट असलेले सर्व टर्म्स एकत्र करा.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

समीकरण मानक रूपामध्ये आहे.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=fx-bcx+cx^{2}+bx^{2}-x^{3}$$

दोन्ही बाजूंना bx-bc-x^{2}+xc ने विभागा.

$$\frac{\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a}{-x^{2}+bx+cx-bc}=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

bx-bc-x^{2}+xc ने केलेला भागाकार bx-bc-x^{2}+xc ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

x\left(-x^{2}+bx+cx-bc+f\right) ला bx-bc-x^{2}+xc ने भागा.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}$$

b साठी सोडवा

$$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{x\left(x^{2}-ax-cx+ac-f\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq a\\b\in \mathrm{R}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }a=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=a\text{ and }a\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

रेखीय समीकरण सोडविण्यासाठी चरणे

x-a ला x-b ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x^{2}-xb-ax+ab ला x-c ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

दोन्ही बाजूंकडून x^{3} वजा करा.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

दोन्ही बाजूंना x^{2}c जोडा.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

दोन्ही बाजूंना ax^{2} जोडा.

$$-bx^{2}+bxc+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}$$

दोन्ही बाजूंकडून axc वजा करा.

$$-bx^{2}+bxc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}-axc$$

टर्म्सची पुन्हा क्रमवारी लावा.

$$-bx^{2}+abx+bcx-abc=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

b समाविष्ट असलेले सर्व टर्म्स एकत्र करा.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

समीकरण मानक रूपामध्ये आहे.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=fx-acx+cx^{2}+ax^{2}-x^{3}$$

दोन्ही बाजूंना ax-ac-x^{2}+xc ने विभागा.

$$\frac{\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b}{-x^{2}+ax+cx-ac}=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

ax-ac-x^{2}+xc ने केलेला भागाकार ax-ac-x^{2}+xc ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

x\left(-x^{2}+ax+cx-ac+f\right) ला ax-ac-x^{2}+xc ने भागा.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}$$