9x^2-24x=65 सोडवा

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

x साठी सोडवा

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

दोन्ही बाजूंकडून 65 वजा करा.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 9x^{2}+ax+bx-65 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -585 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

बेरी -24 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-39 b=15$$

\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right) प्रमाणे 9x^{2}-24x-65 पुन्हा लिहा.

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

पहिल्‍या आणि 5 मध्‍ये अन्‍य समूहात 3x घटक काढा.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून 3x-13 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, 3x-13=0 आणि 3x+5=0 सोडवा.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$9x^{2}-24x=65$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 65 वजा करा.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

65 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 9, b साठी -24 आणि c साठी -65 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

वर्ग -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

9 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

-65 ला -36 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

576 ते 2340 जोडा.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

2916 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

-24 ची विरूद्ध संख्या 24 आहे.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

9 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{24±54}{18} सोडवा. 24 ते 54 जोडा.

$$x=\frac{78}{18}$$

6 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{78}{18} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=\frac{13}{3}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{24±54}{18} सोडवा. 24 मधून 54 वजा करा.

$$x=-\frac{30}{18}$$

6 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-30}{18} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=-\frac{5}{3}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$9x^{2}-24x=65$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

9 ने केलेला भागाकार 9 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

3 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-24}{9} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

-\frac{8}{3} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{4}{3} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{4}{3} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{4}{3} वर्ग घ्या.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{65}{9} ते \frac{16}{9} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

घटक x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

सरलीकृत करा.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{4}{3} जोडा.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$