9n^2-23n+20=3n^2 सोडवा

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

n साठी सोडवा

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

दोन्ही बाजूंकडून 3n^{2} वजा करा.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} मिळविण्यासाठी 9n^{2} आणि -3n^{2} एकत्र करा.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 6n^{2}+an+bn+20 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

ab सकारात्‍मक असल्‍यापासून a व b मध्‍ये समान चिन्‍ह आहे. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b दोन्‍ही नकारात्‍मक आहेत. 120 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

बेरी -23 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-15 b=-8$$

\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) प्रमाणे 6n^{2}-23n+20 पुन्हा लिहा.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

पहिल्‍या आणि -4 मध्‍ये अन्‍य समूहात 3n घटक काढा.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून 2n-5 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, 2n-5=0 आणि 3n-4=0 सोडवा.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

दोन्ही बाजूंकडून 3n^{2} वजा करा.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} मिळविण्यासाठी 9n^{2} आणि -3n^{2} एकत्र करा.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 6, b साठी -23 आणि c साठी 20 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

वर्ग -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

6 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

20 ला -24 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

529 ते -480 जोडा.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 चा वर्गमूळ घ्या.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 ची विरूद्ध संख्या 23 आहे.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

6 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

आता ± धन असताना समीकरण n=\frac{23±7}{12} सोडवा. 23 ते 7 जोडा.

$$n=\frac{30}{12}$$

6 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{30}{12} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$n=\frac{5}{2}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण n=\frac{23±7}{12} सोडवा. 23 मधून 7 वजा करा.

$$n=\frac{16}{12}$$

4 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{16}{12} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$n=\frac{4}{3}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

दोन्ही बाजूंकडून 3n^{2} वजा करा.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} मिळविण्यासाठी 9n^{2} आणि -3n^{2} एकत्र करा.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 20 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$6n^{2}-23n=-20$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6 ने केलेला भागाकार 6 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-20}{6} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

-\frac{23}{6} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{23}{12} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{23}{12} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{23}{12} वर्ग घ्या.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{10}{3} ते \frac{529}{144} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

घटक n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

सरलीकृत करा.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{23}{12} जोडा.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$