8y^3-27=0 सोडवा

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{4}\approx -0.75-1.299038106i$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\approx -0.75+1.299038106i$$

निरसन चरणे

रॅशनल परिमेय प्रमेयानुसार, सर्व बहुपदीय रॅशनल परिमेय \frac{p}{q} स्वरूपात आहेत, जेथे p स्थिर टर्म -27 ला विभाजित करते आणि q अग्रगण्य गुणांक 8 ला विभाजित करते. सर्व उमेदवारांची यादी करा \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

तंतोतंत मूल्‍यानुसार अगदी लहानपासून सुरू करून, सर्व इंटिगर मूल्‍ये वापरण्‍याचा प्रयत्‍न करून असे एक रूट करा. कोणतेही इंटिगर रूट्स आढळले नसल्‍यास, अंश वापरून पाहा.

$$y=\frac{3}{2}$$

फॅक्‍टर थिओरेमनुसार, प्रत्येक परिमेय k साठी y-k बहुपदी अवयव आहे. 4y^{2}+6y+9 मिळविण्यासाठी 8y^{3}-27 ला 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 ने भागाकार करा. निकाल 0 समान असताना समीकरण सोडवा.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 ची समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडवली जाऊ शकतात. वर्गसमीकरण सुत्रामध्ये a साठी 4, b साठी 6 आणि c साठी 9 विकल्प आहे.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

गणना करा.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

जेव्हा ± धन असते तेव्हा आणि ± ऋण असते तेव्हा 4y^{2}+6y+9=0 समीकरण सोडवा.

$$y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

आढळलेले सर्व सोल्‍यूशन सूचीबद्ध करा.

$$y=\frac{3}{2} y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

y साठी सोडवा

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

निरसन चरणे

रॅशनल परिमेय प्रमेयानुसार, सर्व बहुपदीय रॅशनल परिमेय \frac{p}{q} स्वरूपात आहेत, जेथे p स्थिर टर्म -27 ला विभाजित करते आणि q अग्रगण्य गुणांक 8 ला विभाजित करते. सर्व उमेदवारांची यादी करा \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

तंतोतंत मूल्‍यानुसार अगदी लहानपासून सुरू करून, सर्व इंटिगर मूल्‍ये वापरण्‍याचा प्रयत्‍न करून असे एक रूट करा. कोणतेही इंटिगर रूट्स आढळले नसल्‍यास, अंश वापरून पाहा.

$$y=\frac{3}{2}$$

फॅक्‍टर थिओरेमनुसार, प्रत्येक परिमेय k साठी y-k बहुपदी अवयव आहे. 4y^{2}+6y+9 मिळविण्यासाठी 8y^{3}-27 ला 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 ने भागाकार करा. निकाल 0 समान असताना समीकरण सोडवा.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 ची समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडवली जाऊ शकतात. वर्गसमीकरण सुत्रामध्ये a साठी 4, b साठी 6 आणि c साठी 9 विकल्प आहे.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

गणना करा.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

एका ऋण संख्येचे वर्गमूळ वास्तविक क्षेत्रामध्ये परिभाषित केले नसल्यामुळे, कोणतेही निरसन नाहीत.

$$y\in \emptyset$$

आढळलेले सर्व सोल्‍यूशन सूचीबद्ध करा.

$$y=\frac{3}{2}$$