7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3 सोडवा

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x-15y-2=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$7x-15y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15y जोडा.

$$7x=15y+2$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

15y+2 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{15y+2}{7} चा विकल्प वापरा, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

\frac{15y}{7} ते 2y जोडा.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2}{7} वजा करा.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{29}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{19}{29}$$

x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7} मध्ये y साठी \frac{19}{29} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{19}{29} चा \frac{15}{7} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2}{7} ते \frac{285}{203} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{49}{29}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

7x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 7x-15y-2=0 मधून 7x+14y=21 वजा करा.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

7x ते -7x जोडा. 7x आणि -7x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-15y-14y-2=-21$$

-15y ते -14y जोडा.

$$-29y-2=-21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$-29y=-19$$

दोन्ही बाजूंना -29 ने विभागा.

$$y=\frac{19}{29}$$

x+2y=3 मध्ये y साठी \frac{19}{29} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

\frac{19}{29} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{38}{29} वजा करा.

$$x=\frac{49}{29}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$