6x-3y=10,-3x=6y+5 सोडवा

$$6 x - 3 y = 10 , - 3 x = 6 y + 5$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 6y वजा करा.

$$-3x-6y=5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x-3y=10,-3x-6y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x-3y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$6x=3y+10$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(3y+10\right)$$

3y+10 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{2}+\frac{5}{3} चा विकल्प वापरा, -3x-6y=5.

$$-3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{3}\right)-6y=5$$

\frac{y}{2}+\frac{5}{3} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{2}y-5-6y=5$$

-\frac{3y}{2} ते -6y जोडा.

$$-\frac{15}{2}y-5=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$-\frac{15}{2}y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{15}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{4}{3}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{3} मध्ये y साठी -\frac{4}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{3}\right)+\frac{5}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{4}{3} चा \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{3} ते -\frac{2}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-\frac{4}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 6y वजा करा.

$$-3x-6y=5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x-3y=10,-3x-6y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\\-\frac{1}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 10-\frac{1}{15}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 10-\frac{2}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=-\frac{4}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 6y वजा करा.

$$-3x-6y=5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x-3y=10,-3x-6y=5$$

6x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 6x-3\left(-3\right)y=-3\times 10,6\left(-3\right)x+6\left(-6\right)y=6\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$-18x+9y=-30,-18x-36y=30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -18x+9y=-30 मधून -18x-36y=30 वजा करा.

$$-18x+18x+9y+36y=-30-30$$

-18x ते 18x जोडा. -18x आणि 18x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9y+36y=-30-30$$

9y ते 36y जोडा.

$$45y=-30-30$$

-30 ते -30 जोडा.

$$45y=-60$$

दोन्ही बाजूंना 45 ने विभागा.

$$y=-\frac{4}{3}$$

-3x-6y=5 मध्ये y साठी -\frac{4}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x-6\left(-\frac{4}{3}\right)=5$$

-\frac{4}{3} ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$-3x+8=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$-3x=-3$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-\frac{4}{3}$$