42x^2-5x-3=0 सोडवा

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

x साठी सोडवा

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 42x^{2}+ax+bx-3 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -126 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

बेरी -5 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-14 b=9$$

\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right) प्रमाणे 42x^{2}-5x-3 पुन्हा लिहा.

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

पहिल्‍या आणि 3 मध्‍ये अन्‍य समूहात 14x घटक काढा.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून 3x-1 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, 3x-1=0 आणि 14x+3=0 सोडवा.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 42, b साठी -5 आणि c साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

वर्ग -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

42 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-3 ला -168 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

25 ते 504 जोडा.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

529 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 ची विरूद्ध संख्या 5 आहे.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

42 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{5±23}{84} सोडवा. 5 ते 23 जोडा.

$$x=\frac{28}{84}$$

28 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{28}{84} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=\frac{1}{3}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{5±23}{84} सोडवा. 5 मधून 23 वजा करा.

$$x=-\frac{18}{84}$$

6 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-18}{84} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=-\frac{3}{14}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

0 मधून -3 वजा करा.

$$42x^{2}-5x=3$$

दोन्ही बाजूंना 42 ने विभागा.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

42 ने केलेला भागाकार 42 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

3 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{3}{42} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

-\frac{5}{42} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{5}{84} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{5}{84} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{5}{84} वर्ग घ्या.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{14} ते \frac{25}{7056} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

घटक x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

सरलीकृत करा.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{84} जोडा.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$