4x-3y=1text{and}x+2y=3 सोडवा

$$4 x - 3 y = 1 \text { and } x + 2 y = 3$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-3y=1,x+2y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-3y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$4x=3y+1$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

3y+1 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y+1}{4} चा विकल्प वापरा, x+2y=3.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2y=3$$

\frac{3y}{4} ते 2y जोडा.

$$\frac{11}{4}y+\frac{1}{4}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{4} वजा करा.

$$\frac{11}{4}y=\frac{11}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{4} ते \frac{3}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-3y=1,x+2y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}+\frac{3}{11}\times 3\\-\frac{1}{11}+\frac{4}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-3y=1,x+2y=3$$

4x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$4x-3y=1,4x+4\times 2y=4\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$4x-3y=1,4x+8y=12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x-3y=1 मधून 4x+8y=12 वजा करा.

$$4x-4x-3y-8y=1-12$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3y-8y=1-12$$

-3y ते -8y जोडा.

$$-11y=1-12$$

1 ते -12 जोडा.

$$-11y=-11$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=1$$

x+2y=3 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+2=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=1$$