4n^2-7n=11 सोडवा

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

n साठी सोडवा

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

दोन्ही बाजूंकडून 11 वजा करा.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 4n^{2}+an+bn-11 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -44 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

बेरी -7 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-11 b=4$$

\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) प्रमाणे 4n^{2}-7n-11 पुन्हा लिहा.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

4n^{2}-11n मधील n घटक काढा.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून 4n-11 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, 4n-11=0 आणि n+1=0 सोडवा.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$4n^{2}-7n=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 11 वजा करा.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 4, b साठी -7 आणि c साठी -11 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

वर्ग -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

4 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-11 ला -16 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

49 ते 176 जोडा.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 चा वर्गमूळ घ्या.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 ची विरूद्ध संख्या 7 आहे.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

4 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

आता ± धन असताना समीकरण n=\frac{7±15}{8} सोडवा. 7 ते 15 जोडा.

$$n=\frac{22}{8}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{22}{8} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$n=\frac{11}{4}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण n=\frac{7±15}{8} सोडवा. 7 मधून 15 वजा करा.

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 ला 8 ने भागा.

$$n=-1$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$4n^{2}-7n=11$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4 ने केलेला भागाकार 4 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

-\frac{7}{4} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{7}{8} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{8} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{7}{8} वर्ग घ्या.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{11}{4} ते \frac{49}{64} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

घटक n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

सरलीकृत करा.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{7}{8} जोडा.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$