4x^2-4x-15=0 सोडवा

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

x साठी सोडवा

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 4x^{2}+ax+bx-15 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -60 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

बेरी -4 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-10 b=6$$

\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right) प्रमाणे 4x^{2}-4x-15 पुन्हा लिहा.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

पहिल्‍या आणि 3 मध्‍ये अन्‍य समूहात 2x घटक काढा.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून 2x-5 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, 2x-5=0 आणि 2x+3=0 सोडवा.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 4, b साठी -4 आणि c साठी -15 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

वर्ग -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

4 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-15 ला -16 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

16 ते 240 जोडा.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

256 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

-4 ची विरूद्ध संख्या 4 आहे.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

4 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{4±16}{8} सोडवा. 4 ते 16 जोडा.

$$x=\frac{20}{8}$$

4 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{20}{8} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=\frac{5}{2}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{4±16}{8} सोडवा. 4 मधून 16 वजा करा.

$$x=-\frac{12}{8}$$

4 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-12}{8} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=-\frac{3}{2}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

0 मधून -15 वजा करा.

$$4x^{2}-4x=15$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

4 ने केलेला भागाकार 4 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

-4 ला 4 ने भागा.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

-1 चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{1}{2} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{1}{2} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{1}{2} वर्ग घ्या.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{15}{4} ते \frac{1}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

घटक x^{2}-x+\frac{1}{4}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

सरलीकृत करा.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1}{2} जोडा.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$