3x-y=2;2x-y=3 सोडवा

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=-5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$3x=y+2$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

y+2 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2+y}{3} चा विकल्प वापरा, 2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

\frac{2+y}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

\frac{2y}{3} ते -y जोडा.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{4}{3} वजा करा.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने गुणाकार करा.

$$y=-5$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

-5 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2}{3} ते -\frac{5}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=-5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-y=2 मधून 2x-y=3 वजा करा.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3x-2x=2-3$$

3x ते -2x जोडा.

$$x=2-3$$

2 ते -3 जोडा.

$$x=-1$$

2x-y=3 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

-1 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-2-y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$-y=5$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-5$$