3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16 सोडवा

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

घटक

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

निरसन चरणे

टर्म्ससारखा गुणाकार करा किंवा एकत्रित करा.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

पदावलीच्या घटकासाठी, समीकरण सोडवा, जेथे 0 च्या समतुल्य असते.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

रॅशनल परिमेय प्रमेयानुसार, सर्व बहुपदीय रॅशनल परिमेय \frac{p}{q} स्वरूपात आहेत, जेथे p स्थिर टर्म -16 ला विभाजित करते आणि q अग्रगण्य गुणांक 3 ला विभाजित करते. सर्व उमेदवारांची यादी करा \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

तंतोतंत मूल्‍यानुसार अगदी लहानपासून सुरू करून, सर्व इंटिगर मूल्‍ये वापरण्‍याचा प्रयत्‍न करून असे एक रूट करा. कोणतेही इंटिगर रूट्स आढळले नसल्‍यास, अंश वापरून पाहा.

$$x=-4$$

फॅक्‍टर थिओरेमनुसार, प्रत्येक परिमेय k साठी x-k बहुपदी अवयव आहे. 3x^{3}+12x^{2}-x-4 मिळविण्यासाठी 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 ला x+4 ने भागाकार करा. पदावलीच्या घटकासाठी, समीकरण सोडवा, जेथे ती 0 च्या समतुल्य असते.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

रॅशनल परिमेय प्रमेयानुसार, सर्व बहुपदीय रॅशनल परिमेय \frac{p}{q} स्वरूपात आहेत, जेथे p स्थिर टर्म -4 ला विभाजित करते आणि q अग्रगण्य गुणांक 3 ला विभाजित करते. सर्व उमेदवारांची यादी करा \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

तंतोतंत मूल्‍यानुसार अगदी लहानपासून सुरू करून, सर्व इंटिगर मूल्‍ये वापरण्‍याचा प्रयत्‍न करून असे एक रूट करा. कोणतेही इंटिगर रूट्स आढळले नसल्‍यास, अंश वापरून पाहा.

$$x=-4$$

फॅक्‍टर थिओरेमनुसार, प्रत्येक परिमेय k साठी x-k बहुपदी अवयव आहे. 3x^{2}-1 मिळविण्यासाठी 3x^{3}+12x^{2}-x-4 ला x+4 ने भागाकार करा. पदावलीच्या घटकासाठी, समीकरण सोडवा, जेथे ती 0 च्या समतुल्य असते.

$$3x^{2}-1=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 ची समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडवली जाऊ शकतात. वर्गसमीकरण सुत्रामध्ये a साठी 3, b साठी 0 आणि c साठी -1 विकल्प आहे.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

गणना करा.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

जेव्हा ± धन असते तेव्हा आणि ± ऋण असते तेव्हा 3x^{2}-1=0 समीकरण सोडवा.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

मिळविलेले परिमेय वापरून घटक पदावली पुन्हा लिहा. 3x^{2}-1 बहुपदीचे अवयव पाडलेले नाहीत कारण त्यांच्याकडे कोणतेही परिमेय मूळ नाहीत.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

मूल्यांकन करा

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

निरसन चरणे

47x^{2} मिळविण्यासाठी 48x^{2} आणि -x^{2} एकत्र करा.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$