3x^2-23x+14=0 सोडवा

$$3 x ^ { 2 } - 23 x + 14 = 0$$

x साठी सोडवा

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$x=7$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 3x^{2}+ax+bx+14 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-23 ab=3\times 14=42$$

ab सकारात्‍मक असल्‍यापासून a व b मध्‍ये समान चिन्‍ह आहे. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b दोन्‍ही नकारात्‍मक आहेत. 42 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

बेरी -23 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-21 b=-2$$

\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-2x+14\right) प्रमाणे 3x^{2}-23x+14 पुन्हा लिहा.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-2x+14\right)$$

पहिल्‍या आणि -2 मध्‍ये अन्‍य समूहात 3x घटक काढा.

$$3x\left(x-7\right)-2\left(x-7\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून x-7 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(x-7\right)\left(3x-2\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, x-7=0 आणि 3x-2=0 सोडवा.

$$x=7 x=\frac{2}{3}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$3x^{2}-23x+14=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 3, b साठी -23 आणि c साठी 14 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

वर्ग -23.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

3 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-12\times 14}}{2\times 3}$$

14 ला -12 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-168}}{2\times 3}$$

529 ते -168 जोडा.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{361}}{2\times 3}$$

361 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±19}{2\times 3}$$

-23 ची विरूद्ध संख्या 23 आहे.

$$x=\frac{23±19}{2\times 3}$$

3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{23±19}{6}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{23±19}{6} सोडवा. 23 ते 19 जोडा.

$$x=\frac{42}{6}$$

42 ला 6 ने भागा.

$$x=7$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{23±19}{6} सोडवा. 23 मधून 19 वजा करा.

$$x=\frac{4}{6}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{4}{6} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=\frac{2}{3}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=7 x=\frac{2}{3}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$3x^{2}-23x+14=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 14 वजा करा.

$$3x^{2}-23x+14-14=-14$$

14 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$3x^{2}-23x=-14$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$\frac{3x^{2}-23x}{3}=-\frac{14}{3}$$

3 ने केलेला भागाकार 3 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x=-\frac{14}{3}$$

-\frac{23}{3} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{23}{6} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{23}{6} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x+\left(-\frac{23}{6}\right)^{2}=-\frac{14}{3}+\left(-\frac{23}{6}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{23}{6} वर्ग घ्या.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=-\frac{14}{3}+\frac{529}{36}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{14}{3} ते \frac{529}{36} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{361}{36}$$

घटक x^{2}-\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(x-\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{361}{36}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{36}}$$

सरलीकृत करा.

$$x-\frac{23}{6}=\frac{19}{6} x-\frac{23}{6}=-\frac{19}{6}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{23}{6} जोडा.

$$x=7 x=\frac{2}{3}$$