3x^2-2x-1=0 सोडवा

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

x साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=1$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 3x^{2}+ax+bx-1 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. फक्‍त असे पेअर सिस्‍टमचे निरसन आहे.

$$a=-3 b=1$$

\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right) प्रमाणे 3x^{2}-2x-1 पुन्हा लिहा.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

3x^{2}-3x मधील 3x घटक काढा.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून x-1 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, x-1=0 आणि 3x+1=0 सोडवा.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 3, b साठी -2 आणि c साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

वर्ग -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

3 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-1 ला -12 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

4 ते 12 जोडा.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

16 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

-2 ची विरूद्ध संख्या 2 आहे.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{2±4}{6} सोडवा. 2 ते 4 जोडा.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 ला 6 ने भागा.

$$x=1$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{2±4}{6} सोडवा. 2 मधून 4 वजा करा.

$$x=-\frac{2}{6}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-2}{6} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=-\frac{1}{3}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

0 मधून -1 वजा करा.

$$3x^{2}-2x=1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

3 ने केलेला भागाकार 3 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

-\frac{2}{3} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{1}{3} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{1}{3} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{1}{3} वर्ग घ्या.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{3} ते \frac{1}{9} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

घटक x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

सरलीकृत करा.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1}{3} जोडा.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$