3x^2+14x-5=0 सोडवा

$$3 x ^ { 2 } + 14 x - 5 = 0$$

x साठी सोडवा

$$x=-5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 3x^{2}+ax+bx-5 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b सकारात्‍मक असल्‍याने, सकारात्‍मक नंबरमध्‍ये नकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -15 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$-1,15 -3,5$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

बेरी 14 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-1 b=15$$

\left(3x^{2}-x\right)+\left(15x-5\right) प्रमाणे 3x^{2}+14x-5 पुन्हा लिहा.

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(15x-5\right)$$

पहिल्‍या आणि 5 मध्‍ये अन्‍य समूहात x घटक काढा.

$$x\left(3x-1\right)+5\left(3x-1\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून 3x-1 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(3x-1\right)\left(x+5\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, 3x-1=0 आणि x+5=0 सोडवा.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$3x^{2}+14x-5=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 3, b साठी 14 आणि c साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

वर्ग 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

3 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

-5 ला -12 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

196 ते 60 जोडा.

$$x=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

256 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-14±16}{6}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{-14±16}{6} सोडवा. -14 ते 16 जोडा.

$$x=\frac{2}{6}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{2}{6} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=\frac{1}{3}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{-14±16}{6} सोडवा. -14 मधून 16 वजा करा.

$$x=-\frac{30}{6}$$

-30 ला 6 ने भागा.

$$x=-5$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$3x^{2}+14x-5=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$3x^{2}+14x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$3x^{2}+14x=-\left(-5\right)$$

0 मधून -5 वजा करा.

$$3x^{2}+14x=5$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{5}{3}$$

3 ने केलेला भागाकार 3 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{5}{3}$$

\frac{14}{3} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, \frac{7}{3} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{3} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून \frac{7}{3} वर्ग घ्या.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{5}{3}+\frac{49}{9}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{3} ते \frac{49}{9} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{64}{9}$$

घटक x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

सरलीकृत करा.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{8}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7}{3} वजा करा.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$