3x+5y=8text{and}x-2y=-1 सोडवा

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+5y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$3x=-5y+8$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

-5y+8 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-5y+8}{3} चा विकल्प वापरा, x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

-\frac{5y}{3} ते -2y जोडा.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{8}{3} वजा करा.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{11}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{8}{3} ते -\frac{5}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

3x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

सरलीकृत करा.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+5y=8 मधून 3x-6y=-3 वजा करा.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y+6y=8+3$$

5y ते 6y जोडा.

$$11y=8+3$$

8 ते 3 जोडा.

$$11y=11$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$y=1$$

x-2y=-1 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-2=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=1$$