3x^2-31x-60=0 सोडवा

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

x साठी सोडवा

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 3x^{2}+ax+bx-60 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -180 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

बेरी -31 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-36 b=5$$

\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) प्रमाणे 3x^{2}-31x-60 पुन्हा लिहा.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

पहिल्‍या आणि 5 मध्‍ये अन्‍य समूहात 3x घटक काढा.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून x-12 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, x-12=0 आणि 3x+5=0 सोडवा.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 3, b साठी -31 आणि c साठी -60 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

वर्ग -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

3 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-60 ला -12 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

961 ते 720 जोडा.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 ची विरूद्ध संख्या 31 आहे.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{31±41}{6} सोडवा. 31 ते 41 जोडा.

$$x=\frac{72}{6}$$

72 ला 6 ने भागा.

$$x=12$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{31±41}{6} सोडवा. 31 मधून 41 वजा करा.

$$x=-\frac{10}{6}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-10}{6} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=-\frac{5}{3}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 60 जोडा.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

0 मधून -60 वजा करा.

$$3x^{2}-31x=60$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3 ने केलेला भागाकार 3 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 ला 3 ने भागा.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

-\frac{31}{3} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{31}{6} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{31}{6} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{31}{6} वर्ग घ्या.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

20 ते \frac{961}{36} जोडा.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

घटक x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

सरलीकृत करा.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{31}{6} जोडा.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$