25y^2-54y-63=0 सोडवा

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

y साठी सोडवा

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 25y^{2}+ay+by-63 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -1575 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

बेरी -54 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-75 b=21$$

\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right) प्रमाणे 25y^{2}-54y-63 पुन्हा लिहा.

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

पहिल्‍या आणि 21 मध्‍ये अन्‍य समूहात 25y घटक काढा.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून y-3 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, y-3=0 आणि 25y+21=0 सोडवा.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 25, b साठी -54 आणि c साठी -63 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

वर्ग -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

25 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-63 ला -100 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

2916 ते 6300 जोडा.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

9216 चा वर्गमूळ घ्या.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

-54 ची विरूद्ध संख्या 54 आहे.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

25 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

आता ± धन असताना समीकरण y=\frac{54±96}{50} सोडवा. 54 ते 96 जोडा.

$$y=\frac{150}{50}$$

150 ला 50 ने भागा.

$$y=3$$

आता ± ऋण असताना समीकरण y=\frac{54±96}{50} सोडवा. 54 मधून 96 वजा करा.

$$y=-\frac{42}{50}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-42}{50} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$y=-\frac{21}{25}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 63 जोडा.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

-63 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

0 मधून -63 वजा करा.

$$25y^{2}-54y=63$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

25 ने केलेला भागाकार 25 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

-\frac{54}{25} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{27}{25} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{27}{25} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{27}{25} वर्ग घ्या.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{63}{25} ते \frac{729}{625} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

घटक y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

सरलीकृत करा.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{27}{25} जोडा.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$