2x-y=2,4x-y=2 सोडवा

$$2 x - y = 2,4 x - y = 2$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-y=2,4x-y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$2x=y+2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

y+2 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{2}+1 चा विकल्प वापरा, 4x-y=2.

$$4\left(\frac{1}{2}y+1\right)-y=2$$

\frac{y}{2}+1 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$2y+4-y=2$$

2y ते -y जोडा.

$$y+4=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{2}y+1 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)+1$$

-2 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-1+1$$

1 ते -1 जोडा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-y=2,4x-y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 2\\-2\times 2+2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-y=2,4x-y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x-y=2 मधून 4x-y=2 वजा करा.

$$2x-4x-y+y=2-2$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x-4x=2-2$$

2x ते -4x जोडा.

$$-2x=2-2$$

2 ते -2 जोडा.

$$-2x=0$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=0$$

4x-y=2 मध्ये x साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-y=2$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=-2$$