2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0 सोडवा

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y+10=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$2x-3y=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y-10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

3y-10 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y}{2}-5 चा विकल्प वापरा, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

\frac{3y}{2}-5 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

\frac{15y}{2} ते -y जोडा.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

-25 ते 4 जोडा.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 21 जोडा.

$$\frac{13}{2}y=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{42}{13}$$

x=\frac{3}{2}y-5 मध्ये y साठी \frac{42}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{42}{13} चा \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

-5 ते \frac{63}{13} जोडा.

$$x=-\frac{2}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

2x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

सरलीकृत करा.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x-15y+50=0 मधून 10x-2y+8=0 वजा करा.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-15y+2y+50-8=0$$

-15y ते 2y जोडा.

$$-13y+50-8=0$$

50 ते -8 जोडा.

$$-13y+42=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 42 वजा करा.

$$-13y=-42$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$y=\frac{42}{13}$$

5x-y+4=0 मध्ये y साठी \frac{42}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

-\frac{42}{13} ते 4 जोडा.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{10}{13} वजा करा.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=-\frac{2}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$